27F　場合の数と確率のまとめ

（例1）

0, 2, 3, 5の4つの数字のうち、3つの数字を使って3桁の数を作る。この時、5の倍数となる数の作り方は、樹形図から10通り。

（例2）

ここに国語、算数、英語、理科、社会の5冊の教科書がある。

これらの教科書すべてを本棚に並べる場合、その並べ方は

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

すなわち、120通り。

しかし、教科書はそれぞれがかなりの厚さだったため、3冊のみ本棚にしまうことにした。この場合、その並べ方は

${}_5 \mathrm{P}_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

すなわち、60通り。

（例3）

Aさんは友人のBさんから、旅行のおみあげとしてチョコをもらった。箱にはプレーン味、いちご味、抹茶味の3種類の味がそれぞれ2個ずつ入っている。

Aさんは、最後の1個がいちご味のチョコになるように食べていくことにした。この場合、食べ方のパターンは

$\begin{align}
& \hspace{13pt} \dfrac{5!}{2! \times 2!} \\[1.5ex]
& = \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1)} \\[1.5ex]
& = 30
\end{align}$

すなわち、30通り。

（例4）

Aさんは自分で色をカスタマイズできるボールペンを買ってきた。芯の取り付け枠は3つあり、Aさんは今回、6種類の色をそれぞれ1本ずつ用意した。

芯の取り付け枠をすべて使うものとすると、カスタマイズの方法は

$\begin{align}
{}_6 \mathrm{C}_3 & = \dfrac{{}_6 \mathrm{P}_3}{3!} \\[1.5ex]
& = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \\[1.5ex]
& = 20
\end{align}$

すなわち、20通り。

（例5）

Aさんの学校では今日、文化祭が行われている。Aさんは自分のクラスの出し物を宣伝しようと、同じクラスのBさん、Cさん、Dさん、Eさん、Fさんと協力して学校中を回ることにした。校舎は3階建てで、東校舎と西校舎に分かれているため、東西で二手に分かれ、1人1フロアを担当するとする。

この時、「Aさんが東校舎を担当する」または「Bさんが西校舎の1階を担当する」場合の数を計算してみよう。東校舎を担当する場合を$A_{\mathrm{E}}$、西校舎の1階を担当する場合を$B_{\mathrm{W1}}$とすると、次のようなベン図が描ける。

Aさんが東校舎を担当する場合、残り5人から東校舎の担当2人を選び（選ばれなかった3人が自動的に西校舎）、各校舎で割りふりを決めればよいので、

$n(A_{\mathrm{E}}) = {}_5 \mathrm{C}_2 \times 3! \times 3! = 360$

Bさんが西校舎の1階を担当する場合、残り5人については順番に担当を決めればよいので、

$n(B_{\mathrm{W1}}) = 5! = 120$

Aさんが東校舎を担当し、かつBさんが西校舎の1階を担当する場合、残り4人から東校舎の担当2人を選び（選ばれなかった2人が自動的に西校舎）、各校舎で割りふりを決めればよいので、

$n(A_{\mathrm{E}} \cap B_{\mathrm{W1}}) = {}_4 \mathrm{C}_2 \times 3! \times 2! = 72$

以上より、求める場合の数$n(A_{\mathrm{E}} \cup B_{\mathrm{W1}})$は、

$\begin{align}
n(A_{\mathrm{E}} \cup B_{\mathrm{W1}}) & = n(A_{\mathrm{E}})+n(B_{\mathrm{W1}})-n(A_{\mathrm{E}} \cap B_{\mathrm{W1}}) \\[1.5ex]
& = 360+120-72 \\[1.5ex]
& = 408
\end{align}$

（例7に続く）

（例6）

今からAさん、Bさん、Cさんの3人でジャンケンを行う。この時、1回で勝負が決まらない（あいこになる）確率を計算してみよう。

起こりうる場合の数は、3人おのおのでグー・チョキ・パーの3通りの出し方があるので、

$3 \times 3 \times 3 = 27$通り

一方、あいこになる場合の数は、

• 3人全員が同じ手を出す場合 … 3通り
• 全員が相異なる手を出す場合 … $3! = 6$通り

の合わせて9通り。

よって、その確率は

$\dfrac{9}{27} = \dfrac{1}{3}$

（例7）

例5において、校舎の分担をくじ引きで決めることにした。この時、Aさんが東校舎または西校舎の1階を担当する確率$P(A_{\mathrm{E}} \cup A_{\mathrm{W1}})$を計算してみよう。

「東校舎」に対応するくじは、6本中3本あるので、

$P(A_{\mathrm{E}}) = \dfrac{1}{2}$

「西校舎の1階」に対応するくじは、6本中1本あるので、

$P(A_{\mathrm{W1}}) = \dfrac{1}{6}$

事象$A_{E}$、$A_{W1}$は排反なので、求める確率は

$\begin{align}
P(A_{\mathrm{E}} \cup A_{\mathrm{W1}}) & = P(A_{\mathrm{E}})+P(A_{\mathrm{W1}}) \\[1.5ex]
& = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6} \\[1.5ex]
& = \dfrac{2}{3}
\end{align}$

（例8）

コインを4回投げ、その表裏を確認する。

この時、表が2回、裏が2回出る確率を計算してみよう。

1回の試行において表が出る確率、裏が出る確率はともに

$\dfrac{1}{2}$

また、試行は互いに独立なので、表裏が出る順番にかかわらずその確率は

$(\dfrac{1}{2})^2 \times (\dfrac{1}{2})^2 = \dfrac{1}{16}$

一方、表裏の出方は、1～4回目のうちどの2回で表が出るかを考えればよいので、

${}_4 \mathrm{C}_2 = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

これら6通りの事象は互いに排反なので、求める確率は

$6 \times \dfrac{1}{16} = \dfrac{3}{8}$

（例10に続く）

（例9）

とあるお店では、景品がもらえるくじ引きキャンペーンを2日間限定で開催している。くじは全部で20本あり、その中に1等は2本だけ入っている。Aさんが2日目にお店に立ち寄ったところ、残りのくじの本数は5本となっていた。

ここで、Aさんがくじ引きに挑戦して1等を引き当てる確率を計算してみよう。

5本のくじの中に1等のくじが残るという事象を$I$、Aさんが1等を引き当てるという事象を$A$とすると、求める条件付き確率は

$P_{I}(A) = \dfrac{P(I \cap A)}{P(I)}$

5本のくじの中に1等のくじが残らない場合（余事象$I^c$）に着目してみると、これはその前に引いた15本のくじに1等のくじがすべて含まれる場合なので、

$\begin{align}
P(I^c) & = \dfrac{{}_2 \mathrm{C}_2 \times {}_{18} \mathrm{C}_{13}}{{}_{20} \mathrm{C}_{15}} \\[1.5ex]
& = \dfrac{{}_{18} \mathrm{C}_5}{{}_{20} \mathrm{C}_5} \\[1.5ex]
& = \dfrac{15 \times 14}{20 \times 19} \\[1.5ex]
& = \dfrac{21}{38}
\end{align}$

よって、確率$P(I)$は

$\begin{align}
P(I) & = 1-P(I^c) \\[1.5ex]
& = 1-\dfrac{21}{38} \\[1.5ex]
& = \dfrac{17}{38}
\end{align}$

Aさんが1等を引き当てる場合は、[1] 5本のくじの中に1等のくじが2本残っており、そのどちらかを引き当てる、[2] 5本のくじの中に1等のくじが1本残っており、それを引き当てる、の2通り。それぞれの場合における確率を計算すると、

[1] 5本のくじの中に1等のくじが2本残っており、そのどちらかを引き当てる場合

$\begin{align}
& \hspace{13pt} \dfrac{{}_{18} \mathrm{C}_{15}}{{}_{20} \mathrm{C}_{15}} \times \dfrac{{}_2 \mathrm{C}_1}{{}_5 \mathrm{C}_1} \\[1.5ex]
& = \dfrac{1}{19} \times \dfrac{2}{5} \\[1.5ex]
& = \dfrac{2}{95}
\end{align}$

[2] 5本のくじの中に1等のくじが1本残っており、それを引き当てる場合

$\begin{align}
& \hspace{13pt} \dfrac{{}_2 \mathrm{C}_1 \times {}_{18} \mathrm{C}_{14}}{{}_{20} \mathrm{C}_{15}} \times \dfrac{{}_1 \mathrm{C}_1}{{}_5 \mathrm{C}_1} \\[1.5ex]
& = \dfrac{15}{38} \times \dfrac{1}{5} \\[1.5ex]
& = \dfrac{3}{38}
\end{align}$

[1]と[2]は排反なので、確率$P(I \cap A)$は

$P(I \cap A) = \dfrac{2}{95}+\dfrac{3}{38} = \dfrac{1}{10}$

以上より、求める確率P_{I}(A)は

$\begin{align}
P_{I}(A) & = \dfrac{P(I \cap A)}{P(I)} \\[1.5ex]
& = \dfrac{\dfrac{1}{10}}{\dfrac{17}{38}} \\[1.5ex]
& = \dfrac{19}{85}
\end{align}$

（例10）

例8の試行（コイントス）を使って「表 → 10点 / 裏 → 0点」となるゲームを行う。この場合、得点と確率の関係は次の表のようになる。

よって、このゲームにおける得点の期待値は

$\begin{align}
& \hspace{13pt} 0 \times \dfrac{1}{16}+10 \times \dfrac{4}{16}+20 \times \dfrac{6}{16}+30 \times \dfrac{4}{16}+40 \times \dfrac{1}{16} \\[1.5ex]
& = \dfrac{0 \times 1+10 \times 4+20 \times 6+30 \times 4+40 \times 1}{16} \\[1.5ex]
& = \dfrac{320}{16} = 20
\end{align}$