T10　「この図形の重心はどこ？」 ― 三角形の重心

今回の問題は全部で3問あります。（※35Fまでの知識が前提です！）

大きさのある物体は、その物体の重さを代表する点となる重心（じゅうしん）をもっている。

例えば、重さが無視できる軽い棒の両端に20 gの重りと10 gの重りをつけると、重心となる点で系全体が重さの逆比（この場合は20gの重りの方から1 : 2）に内分されることが知られている。

すなわち、系全体の重さは赤い点にのみかかっているとみなすことができ、その点を支えるだけで棒は倒れずに安定する。

(1) 図のように、重さが無視できる軽い棒（5 cm）の両端に6 gと8 gの重り（半径1 cmの球）をとりつけた。この物体の重心はどこにあるか求めなさい。

「重心」は平面図形においても定義することができる。

三角形において、各頂点から対辺の中点に向かって線を引く（これを中線という）。すると、これらは必ず1点で交わり、その交点は三角形の重心と呼ばれる（「重力」の英語Gravityの頭文字Gで表す）。

棒の場合と同じく、三角形の重さ（平面図形そのものに重さはないので、ここでは三角形のうすい板をイメージ）は重心にのみかかっているとみなすことができ、この点を支えれば三角形は倒れずに安定する。

(2) 三角形の各頂点から引いた中線が1点で交わることは、中線$\mathrm{AL}$, $\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{G}$、中線$\mathrm{AL}$, $\mathrm{CN}$の交点$\mathrm{G’}$とした時、この2点が同じであることを示せば証明できる。

これをふまえ、3本の中線が1点で交わることを証明しなさい。

(3) 厚さが無視できるうすい板（1 cm²あたり1 g）があり、この板から次のような五角形を切り出した。

この五角形の重心はどこにあるか求めなさい。

三角形には内心・傍心（35F）、外心・垂心（36F）とならんで重心と呼ばれるものがあり、これらは三角形の五心として知られています。

「重心」は物理で本格的に登場する概念ですが、日常生活にも役立つ大切な考え方がかくれています。この問題を通して、「重心」についての理解を深めていきましょう！

(1) 重心を見つけよう
(2) ポイントは「相似」
(3) (1), (2)で学んだことを使おう
おまけ（実験）
参考資料

(1) 重心を見つけよう

(1)は重心の見つけ方を理解するための問題です。

例にあったように、重心によって系全体は重さの逆比に内分されます。今回の場合、一方の重りの中心からもう一方の重りの中心までの距離は1 + 5 + 1 = 7 cmなので、60 gの重りの中心から80 : 60 = 4 : 3に内分する点、すなわち60 gの重りの中心から4 cmのところに重心があります。

重心によって系全体が重さの逆比で内分される理由は、「モーメントがつり合う」からです。

モーメントとは（力点に加える力）×（支点から力点までの距離）によって定義される物理量のことで、「物体を回転させるための力」と言いかえてもよいでしょう。

重心が支点となる時、このモーメントという物理量がつりあう（正しくは、モーメントがつりあうような支点が重心となる）ため、重心によって系全体が重さの逆比に内分されるという話につながるわけです（物理のカテゴリーで改めてくわしく解説します）。

「急にむずかしい話になったな…」と思う人もいるかも知れませんが、このモーメントをうまく使っているのが、有名なてこの原理です。

てこの原理は「加える力は小さくても、支点までの距離をかせいで大きな回転力（モーメント）を生み出す」原理であり、まさしくモーメントを使った人間の知恵です。

(2) ポイントは「相似」

(2)は証明問題です。あらかじめヒントは出しておきましたが、少し難しかったかもしれません。

方針としては、$\mathrm{G}$と$\mathrm{G’}$がどちらも線分$\mathrm{AL}$を同じように内分していることを示していきます^[1]。

また、今回は複数の中点が登場しているので、中点連結定理（相似）を利用することができます。

（証明）

中点$\mathrm{L}$, $\mathrm{M}$を結ぶ。

すると、中点連結定理（$\triangle \mathrm{CAB}$ ∽ $\triangle \mathrm{CML}$）から

$\mathrm{AB} /\!/ \mathrm{ML}$　<1>

$\mathrm{AB} : \mathrm{ML} = 2 : 1$　<2>

よって、<1>から錯角が等しく、

$\angle \mathrm{GAB} = \angle \mathrm{GLM}$　<3>

$\angle \mathrm{ABG} = \angle \mathrm{LMG}$　<4>

<3>, <4>から、$\triangle \mathrm{ABG}$と$\triangle \mathrm{LMG}$は、2つの角がそれぞれ等しいので相似である。

したがって対応する辺の比は等しく、<2>から

$\begin{align}
\mathrm{AG} : \mathrm{GL} &= \mathrm{AB} : \mathrm{LM} \\[1.5ex]
&= 2 : 1
\end{align}$

つまり、交点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AL}$を2 : 1に内分する。

つづいて、中点$\mathrm{L}$, $\mathrm{N}$を結ぶ。

すると、中点連結定理（$\triangle \mathrm{BCA}$ ∽ $\triangle \mathrm{BLN}$）より、

$\mathrm{CA} /\!/ \mathrm{LN}$　<5>

$\mathrm{CA} : \mathrm{LN} = 2 : 1$　<6>

よって、<5>から錯角が等しく、

$\angle \mathrm{G’CA} = \angle \mathrm{G’NL}$　<7>

$\angle \mathrm{CAG’} = \angle \mathrm{NLG’}$　<8>

<7>, <8>から、$\triangle \mathrm{CAG’}$と$\triangle \mathrm{NLG’}$は、2つの角がそれぞれ等しいので相似である。

したがって対応する辺の比は等しく、<6>から

$\begin{align}
\mathrm{AG’} : \mathrm{G’L} &= \mathrm{CA} : \mathrm{NL} \\[1.5ex]
&= 2 : 1
\end{align}$

つまり、交点$\mathrm{G’}$は線分$\mathrm{AL}$を2 : 1に内分する。

以上より、$\mathrm{G}$, $\mathrm{G’}$はどちらも線分$\mathrm{AL}$を2 : 1に内分するので、同じ点である。

すなわち、3本の中線$\mathrm{AL}$, $\mathrm{BM}$, $\mathrm{CN}$はただ一つの点$\mathrm{G}$（$\mathrm{G’}$）で交わる。

（証明終）

三角形の重心が中線上にあることは、次のように考えれば感覚的にも納得できます。

例えば、均質な板が何枚も組み合わさって三角形ができているとします。

この時、それぞれの板の重心はちょうど真ん中になるので、三角形全体としての重心はこれらを結んだ線（$= \mathrm{AL}$）上にあると考えられます。

ただし、これでは重心を1点に決めることができません。そのため、別方向の中線（$\mathrm{BM}$, $\mathrm{CN}$）も考えることで、その交点を重心として定めることができます。

(3) (1), (2)で学んだことを使おう

(3)では、(1), (2)で学んだことを使って、多角形の重心を求めていきます。

この五角形は3つの直角三角形からできているので、まずは各三角形の重心と重さを求めます。

(2)の証明からもわかるように、三角形の重心は少なくとも2本の中線があれば求まります。また、今回は「1 cm²あたり1 g」という条件があるので、面積がわかればそのまま重さもわかります。

直角三角形$\mathrm{CDE}$

底辺が4 cm、高さが2 cmなので、面積は

$\dfrac{4 \times 2}{2} = 4$ cm²

つまり、重心$\mathrm{G_1}$に4 gの重さがかかっていると考えられます。

直角三角形$\mathrm{CAE}$

この直角三角形は、底辺となる$\mathrm{CA}$の長さがあたえられていません。ですが、これはすぐにわかります。というのも、直角三角形$\mathrm{CDE}$と合同だからです。

すなわち、

$\mathrm{EC}$が共通
$\mathrm{AE} = \mathrm{DE} = 2$ cm

なので、直角三角形の合同条件「斜辺と他の1辺がそれぞれ等しい」をみたしています。

したがって対応する辺は等しく（$\mathrm{CA} = \mathrm{CD}$）、$\mathrm{CA}$は4 cmとわかります。

ただ、合同とわかれば面積の計算はもう必要ありませんね。重さは直角三角形$\mathrm{CDE}$と同じく4 gであり、これが重心$\mathrm{G_2}$にかかっています。

直角三角形$\mathrm{ABC}$

$\mathrm{BC}$（3 cm）を底辺と見ると、高さ$\mathrm{CA}$の長さが4 cmであることは先ほど確認したので、面積は

$\dfrac{3 \times 4}{2} = 6$ cm²

つまり、重心$\mathrm{G_3}$には6 gの重さがかかっていると考えられます。

以上で各三角形についての重心と重さはわかりました。

あとはこの3点のみに注目し、(1)で学んだことを使って図形全体の重心を決めていきます。

まず、線分$\mathrm{G_1} \mathrm{G_2}$を考えます。$\mathrm{G_1}$, $\mathrm{G_2}$には同じ4 gの重さがかかっているので、ちょうど中点（1 : 1に内分する点）が重心$\mathrm{G_4}$となります。

次に、線分$\mathrm{G_3} \mathrm{G_4}$を考えます。$\mathrm{G_3}$には6 g、$\mathrm{G_4}$には4 + 4 = 8 gの重さがかかっているので、重さの逆比、すなわち$\mathrm{G_3}$から4 : 3に内分する点が求める重心$\mathrm{G}$となります。