23F　「場合の数にベン図を活用しよう」 ― 集合

こんにちは、まてがめです。

これまで樹形図・順列・組合せといった、場合の数をうまく数えるための方法を学んできました。

• 20F　「場合の数を知る方法」 ― 樹形図
• 21F　「シンプルかつ便利な考え方」 ― 順列
• 22F　「順列の応用」 ― 組合せ

今回は4つ目の方法として集合（しゅうごう）の考え方を学んでいきます。集合というのは簡単に言えば「ある共通点を持つグループ」のことです。集合の考え方が使えるようになると、より複雑な状況に対しても場合の数を計算できるようになります。

集合を考えるための道具 ― ベン図

まずは簡単な例を使って集合の考え方を学んでみましょう。

(1) 数字が8以上

トランプでは1つの数字につき4枚（スペード、ハート、クラブ、ダイヤ）のカードがありますから、数字が8以上（8～13）であるカードの枚数は

$6 \times 4 = 24$

すなわち、24枚となります。

では、これを集合（グループ）として図にしてみましょう。それぞれの集合を簡単に表すために、トランプ全体の集合を$U$（全体集合のことを英語ではUniversal setと言います）、数字が8以上であるカードの集合を$A$で表すことにします。集合を図にする時はベン図と呼ばれる次のような図を描きます。

全体集合$U$（トランプ全体）の中に集合$A$（8以上）が含まれているというのがよくわかりますね。

また、それぞれの集合に含まれる要素の数は、数の英語numberの頭文字nを使ってn(○)のように表します。例えば、集合$A$の要素の数は

$n(A) = 24$

と表します。

(2) 数字が7以下

まずは、(1)と同じように考えてみましょう。数字が1～7のカードが4枚ずつあるので、

$7 \times 4 = 28$

よって、この場合は28枚です。

一方、この枚数は集合を用いて求めることもできます。「数字が7以下」というのは、(1)の「数字が8以上」とは逆の場合です。つまりこの集合は、集合A以外の要素から成る集合だと言えます。

このような集合を「$A$の補集合（ほしゅうごう）」といい、$A^c$で表します（cは補集合の英語complementの頭文字）。

したがって、要素の数（枚数）は次のように計算できます。

$\begin{align}
n(A^c) & = n(U)-n(A) \\[1.5ex]
& = 52-24 \\[1.5ex]
& = 28
\end{align}$

(3) 絵札

絵札は11（ジャック）、12（クイーン）、13（キング）の3種類に対し、それぞれが4枚ずつあるので、

$3 \times 4 = 12$

よって、12枚です。

この集合を$B$とすると、集合$B$（11以上）は集合$A$（8以上）よりも小さいですから、ベン図に描き加えると次のようになります。

このような時、「$B$は$A$の部分集合（ぶぶんしゅうごう）である」といい、$B \subset A$と表します。「開いている側を集合の大きい方に向ける」と覚えましょう。

(4) マークがハート

マークにはスペード、ハート、クラブ、ダイヤの4種類があり、それぞれ同じ枚数だけありますから、

$52 \div 4 = 13$

よって、13枚です。

この集合を$C$としてベン図に描きこんでみると次のようになります。当然ですが、集合$A$（8以上）とも重なる部分がありますね。

(5) 数字が8以上かつマークがハート

「かつ」と言っているので、どちらの条件も満たす必要があります。今回はハートという1つのマークについて、8以上（8～13）となるカードの枚数を考えればよいので、6枚が答えです。

ベン図では、集合$A$（8以上）と集合$C$（ハート）の共通部分を考えていることになります。共通部分の集合は$A \cap C$と表します。$\cap$を囲いに見立てて「共通部分に囲いをする」と覚えましょう。

(6) 数字が8以上かつマークがハートではない

「数字が8以上」かつ「マークはハートではない」ということは、「数字が8以上」かつ「マークはスペード・クラブ・ダイヤのいずれか」ということになるので、

$6 \times 3 = 18$

よって、18枚です。

こちらも集合で考えてみましょう。今回考えているのは、集合$A$（8以上）と補集合$C^c$（ハートではない）の共通部分（$A \cap C^c$）ですから、ベン図では次に示す部分になります。

これは集合$A$から共通部分$A \cap C$を取り除いたものとみなせるので、次のような計算で答えがわかりますね。

$\begin{align}
n(A \cap C^c) & = n(A)-n(A \cap C) \\[1.5ex]
& = 24-6 \\[1.5ex]
& = 18
\end{align}$

(7) 数字が8以上またはマークがハート

「または」と言っているので、どちらか一方の条件さえ満たせばよいことになります。ベン図で見ると、$A$（8以上）と$C$（ハート）を合わせたような集合です。このような集合を「$A$と$C$の和集合（わしゅうごう）」といい、$A \cup C$で表します。$\cup$を2本の腕に見立てて「両腕で2つの集合を持つ」と覚えましょう。

和集合と言うくらいですから、要素の数についても「$n(A)$と$n(C)$を足せばよいのでは？」と考えてしまいがちですが、実はこれではうまくいきません。というのも、この計算では共通部分の要素の数$n(A \cap C)$において重複が生じてしまうからです。

なので、重複分を差し引きましょう。すなわち、次の計算であれば答えが求まります。

$\begin{align}
n(A \cup C) & = n(A)+n(C)-n(A \cap C) \\[1.5ex]
& = 24+13-6 \\[1.5ex]
& = 31
\end{align}$

よって、31枚です。

ここで一度、集合で使う記号についてまとめておきましょう。

集合（ベン図）を使って場合の数を数えよう

では、実際に集合（ベン図）を使って、複雑な条件を満たす場合の数を数えてみましょう。次の例題を見てください。

(1) 目的地Gまでのすべての経路

地図を見てわかるように、SからGへ最短で行くためには必ず東へ5マス、北へ4マス進む必要があります。そこで、東へ1マス進むことを→、北へ1マス進むことを↑で表すことにすると、5個の→と4個の↑の並べ方を1つの経路に対応させることができます。

したがって、5個の→と4個の↑（計9個の矢印）の順列について場合の数を数えれば経路の数がわかります。ただし、5個の→と4個の↑にはそれぞれ区別がないので、これらの並べ方には重複があることに注意してください（区別がつかないものの順列については21Fで解説しています）。

$\dfrac{9!}{5! \times 4!} = 126$

よって、答えは126通りです。これを全体集合$U$としておきましょう。

(2) お店Aに立ち寄ってから目的地Gに行く経路

まず、SからAまでの最短経路を考えます。地図によれば、SからAに行くには東へ2マス、北へ1マス進む必要があります。よって、2個の→と1個の↑（計3個の矢印）の順列について場合の数を数えればよいので、こちらの場合の数は次のように計算できます。

$\dfrac{3!}{2!} = 3$

続いてAからGまでの最短経路を考えます。地図によれば、AからGに行くには東へ3マス、北へ3マス進む必要があります。よって、3個の→と3個の↑（計6個の矢印）の順列について場合の数を数えればよいので、こちらの場合の数は次のように計算できます。

$\dfrac{6!}{3! \times 3!} = 20$

以上から、求める場合の数は

$3 \times 20 = 60$

つまり、60通りとなります。この集合を$A$としておきましょう。

(3) お店Bに立ち寄ってから目的地Gに行く経路

Aは交差点にありましたが、Bは道の途中にありますね。この道の端点をP₁, P₂とすると、Bに立ち寄るためには必ずP₁P₂を必ず通らなくてはならないということになります。

そこでまず、SからP₁までの最短経路を数えてみましょう。地図によれば、SからP₁に行くには東へ3マス、北へ2マス進む必要があります。よって、3個の→と2個の↑（計5個の矢印）の順列について場合の数を数えればよいので、こちらの場合の数は次のように計算できます。

$\dfrac{5!}{3! \times 2!} = 10$

続いて、P₂からGまでの最短経路を数えてみましょう。地図によれば、P₂からGに行くには東へ2マス、北へ1マス進む必要があります。よって、2個の→と1個の↑（計3個の矢印）の順列について場合の数を数えればよいので、こちらの場合の数は次のように計算できます。

$\dfrac{3!}{2!} = 3$

以上から、求める場合の数は

$10 \times 3 = 30$

つまり、30通りとなります。この集合を$B$としておきましょう。

(4) お店Aまたはお店Bに立ち寄ってから目的地Gに行く経路

「Aに立ち寄る」または「Bに立ち寄る」場合なので、和集合$A \cup {B}$に対応します。ベン図では次に示す部分です。

復習ですが、和集合における要素の数は次の式で計算できます。重複分を差し引くのがポイントでしたね。

$n(A \cup B) = n(A)+n(B)-n(A \cap B)$

(2)で$n(A)=60$、(3)で$n(B)=30$はすでに求めていますから、まだ計算していない$A\cap{B}$の要素の数$n(A\cap{B})$を求めておきましょう。これは「AとBの両方に立ち寄ってからGに行く経路の数」ですね。

SからAまでの最短経路の本数は、2個の→と1個の↑の順列を考えて、

$\dfrac{3!}{2!} = 3$

AからP₁までの最短経路の本数は、1個の→と1個の↑の順列を考えて、

$2! = 2$

P₂からGまでの最短経路の本数は、2個の→と1個の↑の順列を考えて、

$\dfrac{3!}{2!} = 3$

よって、AとBの両方に立ち寄ってからGに行く経路の数$n(A \cap B)$は

$n(A \cap B) = 3 \times 2 \times 3 = 18$

以上から、求める経路の数は

$\begin{align}
n(A \cup B) & = n(A)+n(B)-n(A \cap B) \\[1.5ex]
& = 60+30-18 \\[1.5ex]
& = 72
\end{align}$

つまり、72通りとなります。

(5) お店Aには立ち寄らず、お店Bに立ち寄ってから目的地Gに行く経路

「Aに立ち寄らない」かつ「Bに立ち寄る」場合なので、共通部分$A^c \cap B$に対応します。ベン図では次に示す部分です。

これは集合$B$から共通部分$A \cap B$を除いた部分なので、経路（要素）の数は次のように計算すればよいですね。

$\begin{align}
n(A^c \cap B) & = n(B)-n(A \cap B) \\[1.5ex]
& = 30-18 \\[1.5ex]
& = 12
\end{align}$

つまり、12通りです。

(6) お店Aまたはお店Bに立ち寄らず目的地Gに行く経路

「Aに立ち寄らない」または「Bに立ち寄らない」場合なので、和集合$A^c \cup B^c$に対応します。ベン図では次に示す部分です。

ベン図にしてみると、$A$と$B$の共通部分の補集合$(A \cap B)^c$と見ることもできますね。

$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$

したがって、「経路全体の数$n(U)$」から「AとBの両方に立ち寄る場合の経路の数$n(A \cap B)$」を引けば答えがわかります。

$\begin{align}
n(A^c \cup B^c) & = n((A \cap B)^c) \\[1.5ex]
& = n(U)-n(A \cap B) \\[1.5ex]
& = 126-18 \\[1.5ex]
& = 108
\end{align}$

つまり、108通りとなります。

まとめ

今回は集合の考え方について学びました。最も大切なポイントは「共通点を持つグループ（集合）を考え、その関係を図に表す（ベン図にする）」ということです。

ベン図においては集合同士の関係が一目でわかるので、条件が複雑な場合の数も計算することができるようになります。必要に応じて活用していきましょう！

今回はここまでです。お疲れさまでした！